计算1~n之间的所有十进制整数中1的出现次数

问题是这样的，给出一个n，让你求出1~n之间的所有整数的十进制形式中的1的总个数。

本问题假设n>1。

比如给出一个数n=12，那么1到12之间的数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12里面，能数出来是有5个1。

最直观的方法：依次判断每一个区间内的每一个整数，对一个数逐渐除10判断其每一位。这个方法的时间复杂度为O(n*lgn)。

介绍一个优化的方法（注意其中分治和大而化小的递归思想）：

例如，数n=12345，对于1~12345之间的所有数，我们分段来找1。

首先从1~12345之间的数分出2346~12345这10000个数（还剩下1~2345）。

分析这10000个。

先看最高位（万位），是1，那知道从10000~12345这2346个数的万位都是1，2346~9999没有万位。所以万位有2346个1。

再看低的四个位，这个数段中这四位的每一位都是穷举了0~9一次的，排列组合吧，共出现1*4*10^3个1。

至此找出了2346~12345之间的数中的1。

下面该找1~2345之间的数中的1了。有没有发现，我们将原问题n=12345，转换为了较小的问题n=2345。还是用刚才的思路，继续分段。

从1~2345之间的数分出346~2345这2000个数（还剩下1~345）。

分析这2000个数。

先看最高位（千位），是2，那知道从1000~1999这1000个数的千位都是1，其他的数没有千位或千位是2，所以千位有1000个1。

再看低的三个位，这个数段中这三位的每一位都是穷举了0~9两次的，排列组合吧，共出现2*3*10^2个1。

至此找出了346~2345之间的数中的1。

之后的事情就是求问题n=345了。一样的思路。

再求问题n=45。再求问题n=5。

归结起来，该递归方式是，对于一个问题n，去递归求n去掉最高位后的n' 的问题。

上面算法的代码如下：

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int count1(int n)
{
	if(n < 10)
		return 1;
	
	//remove highest num
	int k, high, left, t;
	high = n; //high记录最高位的数
	k = 0; //k记录位数
	t = 1; //t记录10的幂
	while(high > 9)
	{
		high /= 10;
		k++;
		t *= 10;
	}
	left = n - t * high;
	
	//count
	int num_high, num_lows;
	if(high == 1)
		num_high = left+1;
	else
		num_high = t;
	
	num_lows = high * k * t/10;

	return count1(left) + num_high + num_lows;
}

最后

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