快速提高计算能力——matlab多项式计算

在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项。很显然，定义就是那么简单，并且，这个定义是在初中就已经学到过。然而，多项式的四则运算，求导，求值，等等一系列运算，用一个概括，那就是计算量大，尤其是多项式本身的规模就比较大时。

目录

1，两个多项式相加

2，两个多项式相乘

3，两个多项式相除

4，多项式求导

5，多项式求值

6，多项式求根

7，如何根据系数向量生成对应的多项式？

想想这样一个情景，有两个多项式，

一个是

另一个

而问题也很简单，就是把这两个多项式相加，相乘，求导，等等，显然，相加是非常容易解决，然而相乘就比较麻烦了，尽管运算规则简单。对于这种问题，我仍然记得自己在草纸上一步一步算的情景，屏幕前的你是否也有过类似经历？

不过，不要担心，办法总比困难多，今天我们就用matlab来解决这个问题。

对于一个多项式，

在matlab中，我们以这种向量形式来表示

注：

向量中多项式系数从高次到低次，顺序排列

缺项用0补足

向量长度为最高次数加1

1，两个多项式相加

%f1(x)=x^3+x^2+1,f2(x)=3*x^2+1p1=[1,1,0,1];p2=[3,0,1];result=p1+[0,p2];%保持两个向量同型，缺项补零disp(result);结果：     1     4     0     2

减法同上。

2，两个多项式相乘

conv(p1,p2)

p1，p2为两个多项式系数向量，返回值为系数向量

%f1(x)=x^3+x^2+1,f2(x)=3*x^2+1p1=[1,1,0,1];p2=[3,0,1];result=conv(p1,p2);%p1，p2不需要必须保持同型disp(result);结果：3     3     1     4     0     1

3，两个多项式相除

[Q,r]=deconv(p1,p2)

p1，p2为两个多项式系数向量,这里是p1除以p2,，Q是商式，r是余式，两个

都为系数向量。​​​​​​​

%f1(x)=x^3+x^2+1,f2(x)=3*x^2+1p1=[1,1,0,1];p2=[3,0,1];[Q,r]=deconv(p1,p2);%p1，p2不需要必须保持同型disp(Q);disp(r);结果：    0.3333    0.3333
    0         0   -0.3333    0.6667

4，多项式求导

 polyder(p1）

求p1对应多项式的导函数，返回值为系数向量。

polyder(p1,p2)

求p1，p2对应多项式相乘的导函数，返回值为系数向量。

[a,b]=polyder(p1,p2)

求p1，p2对应多项式相除的导函数，分子存入a，分母存入b

​​​​​​​

%f1(x)=x^3+x^2+1,f2(x)=3*x^2+1p1=[1,1,0,1];p2=[3,0,1];r1=polyder(p1);  %求多项式f1的导函数r2=polyder(p1,p2);  %求多项式f2的导函数[p,q]=polyder(p1,p2); %求f1/f2的导函数，导函数分子存于p,分母存于qdisp(r1);disp(r2);disp(p);disp(q);结果：     3     2     0
    15    12     3     8     0
     3     0     3    -4     0
     9     0     6     0     1

5，多项式求值

polyval(p,x)

p为多项式向量，x可以是标量，向量，或矩阵，

若x为标量，则求多项式在该点的值

若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。

polyvalm(p,x）

矩阵多项式求值，x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。​​​​​​​

%f(x)=x+100;p=[1,100];%标量r1=polyval(p,1);%向量r2=polyval(p,[1,2]);%矩阵r3=polyval(p,[1,2;              3,4]);disp(r1);disp(r2);disp(r3);结果：   101
   101   102
   101   102   103   104
%ployvalm()r4=polyvalm(p,[1,2;3,4]);disp(r4);结果：   101     2     3   104

解释：

以f(x)=x+100为例，来说明。当调用polyvalm(p,x)函数时，相当于

x+100*ones(size(x))。

也就把方阵带入时，把多项式的未知量全部换为了该

方阵，遵从矩阵运算法则，而常数项则为数量矩阵，也就是把原来的常数与一

个单位阵(与带入的矩阵同型)相乘。其它多项式与此相同。

6，多项式求根

roots(p)

p为多项式的系数向量

%x^2-2*x+1a=[1,-2,1];result=roots(a);disp(result);结果：     1     1

当然，如果已知一个多项式的所有根，我们就可通过poly()函数来得到该多项

式(相差常数倍)，准确的应是系数向量。

p=poly(r）

r为根向量，p为原多项式的系数向量​​​​​​​

result=[1,1];p=poly(result);disp(p);结果：     1    -2     1

7，如何根据系数向量生成对应的多项式？

poly2sym(p,sym('变量'))

p为系数向量，变量可以为x,t,等等，根据自己需自行设置要即可。​​​​​​​

p=[1,-2,1];f1=poly2sym(p,sym('x'));disp(f1);结果：x^2 - 2*x + 1------------------------f2=poly2sym(p,sym('t'));disp(f2);结果：t^2 - 2*t + 1

这些操作可以使得我们的计算又快又对，开始时提出的问题便很容易被解决，然而这些内容想要灵活运用，必然是需要大量练习的。其中有一些关键点，只有自己亲自编码才会更加有体会！

最后

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