[2016ICPC 沈阳网络预选赛] HDU 5894 排列组合

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题意

m个相同的同学放到n个不同的组成一个环的座位，每两人之间至少间隔k个，求方案数。0< m< n<1e6，K<=1000。

思路

座位是不同的所以不是polya。如果座位不构成环那么就可以把每个人和k个空位打包直接算组合数了。现在考虑把每个人和他右边k个座位打包，计算放置方案C(n-m*k，m)。这样计算的结果其实是最后一个同学不放在最后k个位置上的所有情况，即要么最后一个同学放在前面，要么最后一个同学放在最后，由于他捆绑了k个空座位，所以他后面至少有k个空座位。考虑到k只有1000，那么我们可以枚举接下来把最后一个同学依次放到最后k个位置，同时在开头强制相应的空位。其实放在哪里方案数都是C(n-(k+1)-(m-1)*k，m-1)=C(n-m*k-1，m-1)。最终答案就是[C(n-m*k，m)+k*C(n-m*k-1，m-1)]%MOD。注意特判只有一个人(输出n)和无法放置(n-mk < m)的情况。

AC代码 C

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#include <stdio.h>
#define MAXN 1000005
#define MOD 1000000007
#define GET_C(n,m) (f[n] * inv[m] % MOD * inv[(n) - (m)] % MOD)
long long f[MAXN];
long long inv[MAXN];
long long pow_mod(long long x, long long k)
{
long long res = 1;
do
{
if (k & 1)
res = res * x % MOD;
x = x * x % MOD;
} while (k >>= 1);
return res;
}
int main()
{
int T, i;
long long n, m, k;
for (i = f[0] = inv[0] = 1; i < MAXN; i++)
{
f[i] = f[i - 1] * i % MOD;
inv[i] = pow_mod(f[i], MOD - 2);
}
scanf("%d", &T);
while (T-- && scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &k) > 0)
printf("%I64dn", m != 1 ? (n - m * k < m ? 0 : (GET_C(n - m * k, m) + k * GET_C(n - m * k - 1, m - 1)) % MOD) : n);
return 0;
}