二维傅里叶变换可以分解成 两个维度上分别做一次一维傅里叶变换
以下代码清楚地展示了这个性质
- DFT 是对一维向量做傅里叶变换
- FFT 是对二维矩阵的每一行做一次傅里叶变换
- FFT2D 则是调用两次 FFT,在两个维度分别做傅里叶变换
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27def DFT(sig): N = sig.size V = np.array([[np.exp(-1j*2*np.pi*v*y/N) for v in range(N)] for y in range(N)]) return sig.dot(V) def FFT(x): N = x.shape[1] # 只需考虑第二个维度,然后在第一个维度循环 if N % 2 > 0: raise ValueError("size of x must be a power of 2") elif N <= 8: # this cutoff should be optimized return np.array([DFT(x[i,:]) for i in range(x.shape[0])]) else: X_even = FFT(x[:,::2]) X_odd = FFT(x[:,1::2]) factor = np.array([np.exp(-2j * np.pi * np.arange(N) / N) for i in range(x.shape[0])]) return np.hstack([X_even + np.multiply(factor[:,:int(N/2)],X_odd), X_even + np.multiply(factor[:,int(N/2):],X_odd)]) def FFT2D(img): return FFT(FFT(img).T).T def FFT_SHIFT(img): M,N = img.shape M = int(M/2) N = int(N/2) return np.vstack((np.hstack((img[M:,N:],img[M:,:N])),np.hstack((img[:M,N:],img[:M,:N]))))
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21import cv2 from numpy.fft import * img = cv2.imread("Lenna.png", cv2.IMREAD_COLOR) gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY) my_fft = abs(FFT_SHIFT(FFT2D(gray))) target = abs(fftshift(fft2(gray))) print('distance from numpy.fft: ',np.linalg.norm(my_fft-target)) plt.subplot(2,2,1) plt.title('Lenna') plt.imshow(gray) plt.subplot(2,2,2) plt.title('my FFT2D') plt.imshow(np.log(1+my_fft)) plt.subplot(2,2,3) plt.title('numpy.fft2') plt.imshow(np.log(1+target)) plt.show()
变换后的频谱图和 numpy 调用的 fft2 几乎相同,说明 FFT2D 和 FFT_SHIFT 都没有问题:
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2distance from numpy.fft: 2.330463500403555e-08
最后
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